Question

11．如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BC．
（2）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，把△APQ沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時刻t使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PQ∥BC，得出△APQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，列出比例式，求出方程的解即可；
（2）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，據(jù)此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結論：不存在這樣的某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；
（3）首先根據(jù)菱形的性質及相似三角形比例線段關系，求得PQ、QD和PD的長度；然后在Rt△PQD中，根據(jù)勾股定理列出方程（8-$\frac{18}{5}$t）²+（6-$\frac{6}{5}$t）²=（2t）²，求得時間t的值；最后根據(jù)菱形的面積等于△AQP面積的2倍，進行計算即可．

解答 解：（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，
解得：t=$\frac{20}{9}$，
∴當t=$\frac{20}{9}$時，PQ∥BC；

（2）如圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D，
∴PD∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
解得$PD=6-\frac{6}{5}t$，
∴△AQP的面積$S=\frac{1}{2}PD×AQ=6t-\frac{6}{5}{t^2}$，
假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S_△AQP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=24，
∴S_△AQP=12，
而S_△AQP=$6t-\frac{6}{5}{t^2}$，
∴$6t-\frac{6}{5}{t^2}=12$，
化簡得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程無解，
∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；

（3）假設存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．
如圖2所示，過P點作PD⊥AC于點D，則有PD∥BC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BC}$，
即$\frac{AD}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
解得：PD=6-$\frac{6}{5}$t，AD=8-$\frac{8}{5}$t，
∴QD=AD-AQ=8-$\frac{8}{5}$t-2t=8-$\frac{18}{5}$t，
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8-$\frac{18}{5}$t）²+（6-$\frac{6}{5}$t）²=（2t）²，
化簡得：13t²-90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=$\frac{25}{13}$，
∵當t=5時，AQ=10cm＞AC，不合題意，舍去，
∴t=$\frac{25}{13}$，
∵當t=$\frac{25}{13}$時，S_△AQP=$6t-\frac{6}{5}{t^2}$=6×$\frac{25}{13}$-$\frac{6}{5}$×（$\frac{25}{13}$）²=$\frac{1200}{169}$cm²，
∴S_{菱形AQPQ′}=2S_△AQP=2×$\frac{1200}{169}$=$\frac{2400}{169}$cm²．
故存在時刻t=$\frac{25}{13}$s，使四邊形AQPQ′為菱形，此時菱形的面積為$\frac{2400}{169}$cm²．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質，三角形的面積計算，勾股定理的逆定理，解一元二次方程以及相似三角形的性質和判定的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形以及直角三角形，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例以及勾股定理進行列式求解．