Question

12．如圖，已知矩形ABCD的面積為48，以此矩形的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）若一次函數(shù)y=mx+2（m＜0）的圖象與x軸y軸分別交點(diǎn)于點(diǎn)E、F，設(shè)A（4，3），那么是否存在實(shí)數(shù)m，使得△AFE的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{8}$？若存在，請(qǐng)求出m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合矩形ABCD的面積為48，即可得出4xy=48，將其變形后即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，由一次函數(shù)的解析式可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，通過(guò)分割圖形求面積法結(jié)合△AFE的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{8}$，即可得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵矩形ABCD的面積為48，A（x，y），
∴4xy=48，
∴y=$\frac{12}{x}$（x＞0）．
（2）假設(shè)存在．
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴F（0，2）；
當(dāng)y=0時(shí)，有0=mx+2，
解得：x=-$\frac{2}{m}$，
∴E（-$\frac{2}{m}$，0）．
∴S_△AEF=S_矩形AHOG-S_△AHF-S_△OEF-S_△AEG=3×4-$\frac{1}{2}$×（3-2）×4-$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{2}{m}$）-$\frac{1}{2}$×3×（4+$\frac{2}{m}$）=$\frac{1}{8}$×48，
即4-$\frac{1}{m}$=6，
解得：m=-$\frac{1}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)m=-$\frac{1}{2}$是分式方程4-$\frac{1}{m}$=6的解．
故存在實(shí)數(shù)m=-$\frac{1}{2}$，使得△AFE的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)矩形的面積為48找出x、y之間的關(guān)系；（2）找出關(guān)于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用分割圖形法求出三角形的面積是關(guān)鍵．