Question

13．如圖是拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，拋物線的頂點A的坐標(biāo)為（-1，2），與x軸的一個交點B的坐標(biāo)為（-3，0），直線y₂=mx+n與拋物線交于A、B兩點．下列結(jié)論：①2a-b=0；②abc＜0；③a+b+c=0；④方程ax²+bx+c=5沒有實數(shù)根；⑤當(dāng)y₁＜y₂時，x＞-1．其中正確的是（　�。�

• A． ①③④
• B． ①③④⑤
• C． ①③⑤
• D． ②③④⑤

Answer 1

分析 利用圖象判定①；利用拋物線頂點A可判定①；利用拋物線開口方向，對稱軸的位置以及與y軸的交點判定②；根據(jù)拋物線的對稱性求得另一個交點坐標(biāo)進(jìn)而即可判定③；根據(jù)拋物線的最大值即可判定④；利用圖象判定⑤．

解答 解：∵頂點A的坐標(biāo)為（-1，2），
∴對稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∴2a-b=0，故①正確；
∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵對稱軸在y軸的左側(cè)，∴b＜0，
∵交y軸正半軸，∴c＞0，
∴abc＞0，故②錯誤；
∵拋物線的頂點坐標(biāo)A（-1，2），與x軸的一個交點B的坐標(biāo)為（-3，0），
∴與x軸的另一個交點是（1，0），
∴當(dāng)x=1時，y=0，
∴a+b+c=0，故③正確；
∵拋物線的最大值為2，
∴拋物線y=ax²+bx+c與直線y=5沒有交點，
∴方程ax²+bx+c=5沒有實數(shù)根，故④正確；
∵由圖象可知，當(dāng)x＞-1時，有y₁＜y₂，故⑤正確；
故選B．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．