Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始以2cm/s的速度向點B運動，點Q沿CB邊從點C開始以1cm/s的速度向點B運動，P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示運動的時間（0≤t≤5）．
（1）當t為何值時，以P、Q、B為頂點的三角形與△ABC相似．
（2）分別過點A，B作直線CP的垂線，垂足為D，E，設(shè)AD+BE=y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；并求當t為何值時，y有最大值．
（3）直接寫出PQ中點移動的路徑長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得到BC=10，根據(jù)已知條件得到PA=2t，BP=10-2t，CQ=t，BQ=6-t．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，作PF⊥AC，垂足為F．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PF=$\frac{6t}{5}$，AF=$\frac{8t}{5}$．求得CF=8-$\frac{8t}{5}$，根據(jù)勾股定理得到CP=$\sqrt{C{F}^{2}+P{F}^{2}}$=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，根據(jù)三角形的面積即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，設(shè)PQ的中點為M，以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，依題意，可知0≤t≤5，當t=0時，點M₁的坐標為（4，0）；當t=5時，點M₂的坐標為（0，5.5），求得直線M₁M₂的解析式為y=-$\frac{11}{8}$x+$\frac{11}{2}$．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴BC=10cm．
由題意可知，PA=2t，BP=10-2t，CQ=t，BQ=6-t．
①若$\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{BA}$，則△BQP∽△BCA．
即$\frac{6-t}{6}=\frac{10-2t}{10}$．解得t=0；
②若$\frac{BQ}{BA}=\frac{BP}{BC}$，則△BQP∽△BAC．
即$\frac{6-t}{10}=\frac{10-2t}{6}$．解得t=$\frac{32}{7}$．
故當t=0或t=$\frac{32}{7}$時，以P，Q，C為頂點的三角形與△ABC相似，

（2）如圖1，作PF⊥AC，垂足為F．
∴△APF∽△ABC．
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{2t}{10}=\frac{PF}{6}=\frac{AF}{8}$，
解得PF=$\frac{6t}{5}$，AF=$\frac{8t}{5}$．
∴CF=8-$\frac{8t}{5}$，
∴CP=$\sqrt{C{F}^{2}+P{F}^{2}}$=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$CP•AD=$\frac{1}{2}$PF•AC=$\frac{1}{2}$•$\frac{6t}{5}$•8=$\frac{1}{2}$•$\frac{48t}{5}$，
∴AD=$\frac{48t}{5CP}$．
同理BE=$\frac{48-\frac{48t}{5}}{CP}$．
∴y=AD+BE=$\frac{48t}{5CP}$+$\frac{48-\frac{48t}{5}}{CP}$=$\frac{48}{CP}$=$\frac{24}{\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}}$，
y=$\frac{24}{\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}}$=$\frac{24}{\sqrt{（t-\frac{16}{5}）^{2}+\frac{144}{25}}}$，當t=$\frac{16}{5}$時，y的最大值為10cm；

（3）如圖2，設(shè)PQ的中點為M，以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，
依題意，可知0≤t≤5，當t=0時，點M₁的坐標為（4，0）；
當t=5時，點M₂的坐標為（0，5.5），設(shè)直線M₁M₂的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=5.5}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{11}{8}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線M₁M₂的解析式為y=-$\frac{11}{8}$x+$\frac{11}{2}$．
由（2）知點Q（0，t），P（8-$\frac{8t}{5}$，$\frac{6t}{5}$），
∴在運動過程中，線段PQ中點M₃的坐標為（4-$\frac{4t}{5}$，$\frac{11t}{10}$），
把x=4-$\frac{4t}{5}$，代入y=-$\frac{11}{8}$x+$\frac{11}{2}$，得y=$\frac{11t}{10}$，
∴點M₃在M₁M₂直線上，
∴線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為$\sqrt{{4}^{2}+5．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{185}}{2}$cm．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．