Question

4．如圖所示，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BC到D，∠ACD的平分線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求∠BPC和∠E的度數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)得到∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=120°，所以∠EPC=60°，再由CE是∠ACD的平分線，可證∠BCP=90°，進(jìn)而可求出∠E的度數(shù)．

解答 解：∵在△ABC中∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC．
又∵CP是∠ACB的平分線，
∴∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=120°，
∴∠EPC=60°，
∵CE是∠ACD的平分線，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠BCA+∠ACD）=90°，
∴∠E=90°-60°=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用平角為180°以及角平分線的性質(zhì)求得∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠BCA+∠ACD）=90°．