Question

18．如圖所示，將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A，C分別在x，y軸的正半軸上，已知點B（4，2），將矩形OABC翻折，使得點C的對應點P恰好落在線段OA（包括端點O，A）上，折痕所在直線分別交BC、OA于點D、E；若點P在線段OA上運動時，過點P作OA的垂線交折痕所在直線于點Q．
（1）求證：CQ=QP
（2）設點Q的坐標為（x，y），求y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；
（3）如圖2，連結(jié)OQ，OB，當點P在線段OA上運動時，設三角形OBQ的面積為S，當x取何值時，S取得最小值，并求出最小值；

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△CDQ≌△PDQ，則CQ=PQ；
（2）根據(jù)Q（x，y）表示QH=y-2，CH=x，在Rt△CQH中，由勾股定理列式得：x²+（y-2）²=y²，化簡可得結(jié)論，因為P在線段OA，且OA=4，又因為折痕所在直線與OA相交，即OP最小為2，所以2≤x≤4；
（3）先求直線OB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x，設直線OB與直線PQ相交于點G，設G（x，y），則Q（x，$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1），
代入三角形面積公式計算S_△OBQ的值，化簡后得二次函數(shù)并配方，計算其最小值即可．

解答 解：（1）由折疊得：CD=PD，
∠CDE=∠PDE，
∴∠CDQ=∠PDQ，
又 DQ=DQ，
∴△CDQ≌△PDQ，
∴CQ=PQ；

（2）如圖1，∵Q（x，y），
CQ=PQ=y，
∵B（4，2），
∴BC=4，AB=2，
設QP交BC于H，則QH=y-2，CH=x，
由勾股定理，得：x²+（y-2）²=y²，
∴y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1（2≤x≤4）；

（3）設直線OB的解析式為：y=kx，
把B（4，2）代入得：4k=2，
k=$\frac{1}{2}$，
∴直線OB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x，
設直線OB與直線PQ相交于點G，設G（x，y），
則Q（x，$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1），
∴QG=$\frac{1}{4}{x}^{2}+1-\frac{1}{2}x$，
∴S_△OBQ=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{4}{x}^{2}+1-\frac{1}{2}x$）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-x+2$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
當x＞1時，S隨x的增大而增大，
∴當x=2時，S有最小值為2．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、圖形與坐標特點、二次函數(shù)的最值、三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理，難度適中，第一問關鍵證明兩三角形全等，第二問關鍵是確定一直角三角形利用勾股定理列方程得出結(jié)論，第三問根據(jù)不規(guī)則三角形的面積等于鉛直高度與水平寬度的積的一半進行計算即可．