Question

已知正方形ABCD，點(diǎn)P為射線BA上的一點(diǎn)（不和點(diǎn)A、B重合），過(guò)P作PE⊥CP，且CP=PE，過(guò)E作EF∥CD交射線BD于F．若△EFC的面積與四邊形PEFC的面積之比為3：20，則tan∠BPC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：作EM⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證△PEM≌△PBC，四邊形CDEF為平行四邊形，則ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．設(shè)AB=BC=1，AP=CG=x，用含x的代數(shù)式分別表示S_△EFC，S_{四邊形PEFC}，根據(jù)△EFC與四邊形PEFC的面積之比為 3：20，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出tan∠BPC的值．

解答：
解：作EM⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵PE⊥PC，
∴∠MPE+∠BPC=90°，
∵∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠MEP=∠BPC，
在Rt△PBC和Rt△EMP中

∠MEP=∠BPC ∠PBC=∠PME=90° PE=PC

∴Rt△PBC≌Rt△EMP（AAS）
∴PM=BC，ME=PB；
∴PM=AB，
∴PM+PA=AB+PA，
∴MA=ME，
∵M(jìn)A=ME，AM⊥EM，
∴∠MAE=45°，
∴PB∥EF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB=EF，
∴CD=EF，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG，
設(shè)AB=BC=1，AP=CG=x，則
S_{四邊形PEFC}=S_矩形BMEG-2S_三角形BPC-S_三角形FCG=（2+x）（1+x）-（1+x）-

1

2

（1+x）x=

1

2

x²+

3

2

x+1，
S_△EFC=

1

2

x；
∵△EFC與四邊形PEFC的面積之比為

3

20

，
∴

1

2

x：（

1

2

x²+

3

2

x+1）=3：20，
解得x=3或

2

3

，
∵tan∠BPC=

BC

BP

=

1

1+x

，
∴當(dāng)x=3時(shí)，tan∠BPC=

1

1+3

=

1

4

；
當(dāng)x=

2

3

時(shí)，tan∠BPC=

1

1+ 2 3

=

3

5

．
tan∠BPC=

1

4

或

3

5

．
故答案為：

1

4

或

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形、平行四邊形、全等三角形的判定與性質(zhì)，四邊形的面積，銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，難度較大．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想及正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．