Question

19．已知拋物線y=-x²+ax+b與直線y=x+t有且只有一個(gè)交點(diǎn)A，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)且滿足b=2t，設(shè)OA與x軸正方向的夾角為α，求tanα的取值范圍．
（注：tanA=$\frac{BC}{AC}$）

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)和b=2t，用t表示a，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念表示出tanα，確定tanα的取值范圍．

解答 解：∵b=2t，∴y=x²+ax+2t，
聯(lián)立y=x+t得：x²+（a-1）x+t=0，
∵拋物線y=-x²+ax+b與直線y=x+t有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（a-1）²-4t=0，
∴（a-1）²=4t，（t≥0）
解得：a=1±2$\sqrt{t}$，
∴x=$\frac{-（a-1）}{2}$=±$\sqrt{t}$，
∵點(diǎn)A在第一象限，∴x=$\sqrt{t}$，y=$\sqrt{t}$+t，
tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{t}+t}{\sqrt{t}}$=$\sqrt{t}$+1≥1，
∴tanα≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法和銳角三角函數(shù)的概念，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵，解答此類題目時(shí)，要認(rèn)真審題，大膽計(jì)算．