Question

17．如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，AD⊥BC于點D，點P在邊AB上運動，過點P作PE∥BC與邊AC交于點E，連接ED，以PE，ED為鄰邊作?PEDF，設(shè)?PEDF與△ABC重疊部分圖形的面積為y，線段AP的長為x（0＜x＜6）．
（1）求線段PE的長（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)四邊形PEDF為菱形時，求x的值；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由PE與BC平行，得到三角形APE與三角形ABC相似，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，得到三角形APE為等邊三角形，可得出PE=AP=x；
（2）若四邊形PEDF為菱形，得到PE=DE=x，由三角形APE為等邊三角形得到AE=PE，可得出AE=DE，利用等邊對等角得到∠DAC=∠ADE，利用等式的性質(zhì)得到∠EDC=∠C，利用等角對等邊得到DE=EC，即可求出x的值；
（3）分兩種情況考慮：當(dāng)0＜x≤3時，重合部分就是平行四邊形PEDF，如圖1；當(dāng)3＜x＜6時，重合部分是梯形PEDB，如圖2，分別求出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答 解：（1）∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴△APE為等邊三角形，
∴PE=AP=x（0＜x＜6）；
（2）∵四邊形PEDF為菱形，
∴PE=DE=x，
∵△APE為等邊三角形，即AE=PE，
∴AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴DE=EC=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=3，
則x=3；
（3）當(dāng)x=3，即P為AB的中點時，PE=$\frac{1}{2}$BC，則F與B重合，
當(dāng)0＜x≤3時，重合部分就是平行四邊形PEDF，如圖1，

在等邊△ABC中，AD=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
在等邊△APE中，AM=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，則DM=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
此時y=x（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+3$\sqrt{3}$x；
當(dāng)3＜x＜6時，重合部分是梯形PEDB，如圖2，

此時y=$\frac{1}{2}$（PE+FD）•DM=$\frac{1}{2}$×（x+3）×（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，以及平行四邊形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．