Question

9．為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國(guó)家海洋局加大了在南海的巡邏力度，一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍的船只停在C處海域．如圖所示，AB=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）海里，在B處測(cè)得C在北偏東45°的方向上，A處測(cè)得C在北偏西30°的方向上，在海岸線AB上有一燈塔D，測(cè)得AD=120（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）海里．
（1）分別求出A與C及B與C的距離AC、BC（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，圖中有無觸礁的危險(xiǎn)？
（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{3}$=1.73，$\sqrt{6}$=2.45）

Answer 1

分析 （1）如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，設(shè)CE=x，在Rt△CBE與Rt△CAE中，分別表示出BE、AE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)AB=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，繼而可求出AC、BC的長(zhǎng)度；
（2）如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，在△ADF中，根據(jù)AD的值，利用三角函數(shù)的知識(shí)求出DF的長(zhǎng)度，然后與100比較，進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，
可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，
設(shè)CE=x，
在Rt△CBE中，BE=CE=x，
在Rt△CAE中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AB=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）海里，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$），
解得：x=60$\sqrt{6}$，
則AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=120$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{2}$x=120$\sqrt{3}$，
答：A與C的距離為120$\sqrt{2}$海里，B與C的距離為120$\sqrt{3}$海里；
（2）如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，
在△ADF中，
∵AD=120（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$），∠CAD=60°，
∴DF=ADsin60°=180$\sqrt{2}$-60$\sqrt{6}$≈106.8＞100，
故海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，無觸礁的危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給方向角構(gòu)造直角三角形，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求解，難度適中．