Question

14．閱讀理解題：
【幾何模型】條件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個定點．
問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最�。�
方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′P+PB=A′B，
由“兩點之間，線段最短”可知，點P即為所求的點．
【模型應用】
（1）如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．求出PB+PE的最小值（畫出示意圖，并解答）
（2）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內一定點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．（要求畫出示意圖，寫出解題過程）

Answer 1

分析 （1）由于點B與D關于AC對稱，所以連接DE，與AC的交點即為P點．此時PB+PE=DE最小，而DE是直角△ADB的斜邊，由勾股定理可求出結果；
（2）設點P關于OA、OB對稱點分別為M、N，當點R、Q在MN上時，△PQR周長為PR+RQ+QP=MN，此時周長最小．

解答 解：（1）如圖1，

連接DE，與交于點P．
∵點B與D關于AC對稱，
∴DP=BP，
∴PB+PE=PD+PE=DE，
∵在直角△ADE中，∠DAE=90°，AD=2，AE=1，
∴DE=$\sqrt{5}$，
（2）分別作點P關于OA、OB的對稱點M、N，
連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點Q、R，
連接PR、PQ，此時△PQR周長的最小值等于MN．
由軸對稱性質可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=10$\sqrt{2}$．
即△PQR周長的最小值等10$\sqrt{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，對稱的性質，解本題的關鍵是根據(jù)對稱的性質畫出圖形，是一道比較簡單的基本題型．