Question

20．如圖，在正方形ABCD中，點E是AD上的點，點F是BC的延長線上一點，CF=DE，連結(jié)BE和EF，EF與CD交于點G，且∠FBE=∠FEB．
（1）過點F作FH⊥BE于點H，證明：$\frac{AE}{BH}$=$\frac{BE}{BF}$；
（2）猜想：BE、AE、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若DG=2，求AE值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AEB=∠EBF，由已知條件得到∠A=∠BHF，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到FH是等腰△FBE底邊上的高，求得BH=$\frac{1}{2}$BE，由根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{BH}=\frac{BE}{BF}$，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）由已知條件得到正方形ABCD的邊長為4，設(shè)AE=k（0＜k＜2），則DE═4-k，BF=8-k，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
又∵FH⊥BE，
∴∠A=∠BHF=90°，
∴△ABE∽△HFB，
∴$\frac{AE}{BH}$=$\frac{BE}{BF}$；

（2）BE²=2AE•EF，

證明如下：∵∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF，
∵FH⊥BE，
∴FH是等腰△FBE底邊上的中線，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE，
由（1）得，$\frac{AE}{BH}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{AE}{\frac{1}{2}BE}=\frac{BE}{BF}$
∴BE²=2AE•BF；
∵BF=EF，
∴BE²=2AE•EF；

（3）解：∵DG═2，
∴正方形ABCD的邊長為4，
設(shè)AE=k（0＜k＜4），
則DE═4-k，BF=8-k，
在Rt△ABM中，BE²=AB²+AE²=16+k²，
由BE²=2AE•BF，得16+k²=2k（8-k），
即3k²-16k+16=0，解得   k=$\frac{4}{3}$或k=4
∵k≠4，
∴AE=$\frac{4}{3}$．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，證得△ABE∽△HFB是解（1）的關(guān)鍵，判斷出FH是等腰△FBE底邊上的中線是解（2）的關(guān)鍵，得出16+k²=2k（8-k）是解（3）的關(guān)鍵．