Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC=

1

3

，點D是AC上一點，且BC=BD=2，將Rt△ABC繞點C旋轉到Rt△FEC的位置，并使點E在射線BD上，連接AF交射線BD于點G，則AG的長為

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質

專題：計算題

分析：作BH⊥CD于H，如圖，在Rt△ABC中利用∠BAC的正弦可計算出AC=6，由于BC=BD=2，根據等腰三角形的性質得CH=DH，根據等角的余角相等得∠HBC=∠BAC，接著在Rt△HBC中利用sin∠HBC的正弦可計算出HC=

1

3

BC=

2

3

，則CD=2CH=

4

3

，所以AD=AC-CD=

14

3

，然后根據旋轉的性質的∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，根據兩等腰三角形的兩頂角相等，則底角相等得到∠CBE=∠CAF，易得∠AGD=∠BCD，再利用∠BCD=∠BDC可得∠ADG=∠AGD，于是根據等腰三角形的性質可得AG=AD=

14

3

．

解答：解：作BH⊥CD于H，如圖，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵sin∠BAC=

BC

AC

=

1

3

，
∴AC=3BC=6，
∵BC=BD=2，
∴CH=DH，
∵∠HBC+∠ACB=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HBC=∠BAC，
∴sin∠HBC=

1

3

，
在Rt△HBC中，∵sin∠HBC=

HC

BC

=

1

3

，
∴HC=

1

3

BC=

2

3

，
∴CD=2CH=

4

3

，
∴AD=AC-CD=6-

4

3

=

14

3

，
∵Rt△ABC繞點C旋轉到Rt△FEC的位置，
∴∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，
∴∠CBE=

1

2

（180°-∠BCE），∠CAF=

1

2

（180°-∠ACE），
∴∠CBE=∠CAF，
∵∠BDC=∠ADG，
∴∠AGD=∠BCD，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AG=AD=

14

3

．
故答案為

14

3

．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質和解直角三角形．