Question

3．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)M、M分別在邊AC、BC上，點(diǎn)P是AN上一點(diǎn)，且∠ABM=∠APM=∠C．
（1）求證：AM•AC=AP•AN；
（2）求證：∠ABP=∠ANB．

Answer 1

分析 （1）由∠PAM=∠CAN，∠APM=∠C，可證得△APM∽△ACN，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由∠ABM=∠C，∠BAM=∠CAB，可證得△ABM∽△ACB，即可得AB²=AM•AC，又由AM•AC=AP•AN，可得AB：AP=AN：AB，則可證得△BAP∽△NAB，繼而證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠PAM=∠CAN，∠APM=∠C，
∴△APM∽△ACN，
∴AP：AC=AM：AN，
∴AM•AC=AP•AN；

（2）∵∠ABM=∠C，∠BAM=∠CAB，
∴△ABM∽△ACB，
∴AB：AC=AM：AB，
∴AB²=AM•AC，
∵AM•AC=AP•AN，
∴AB²=AP•AN，
∴AB：AP=AN：AB，
∵∠BAP=∠NAB，
∴△BAP∽△NAB，
∴∠ABP=∠ANB．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．