Question

如圖，△DAC、△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，求證：
（1）AE=BD；  
（2）CM=CN；  
（3）△CMN為等邊三角形；  
（4）MN∥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，求出∠ACE=∠DCB，根據(jù)SAS推出△ACE≌△DCB即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠CDB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，求出∠DCE=60°，推出∠ACM=∠DCN，根據(jù)ASA推出△ACM≌△DCN即可；
（3）根據(jù)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形推出△CMN為等邊三角形，推出∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，求出∠CMN=∠ACM=60°，即可得出答案；
（4）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠CMN=∠ACM=60°，根據(jù)平行線的判定得出即可．

解答：證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
 在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=BC

∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（2）∵由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
即∠CAM=∠CDN，
∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，
 又點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
即∠DCN=60°，
∴∠ACM=∠DCN，
 在△ACM和△DCN中

∠MAC=∠NDC AC=DC ∠ACM=∠DCN

∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；

（3）∵由（2）可知CM=CN，∠MCN=60°，
∴△CMN為等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）；

（4）∵△CMN為等邊三角形
∴∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，
∴∠CMN=∠ACM=60°，
∴MN∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．