Question

3．已知拋物線y=ax²-2ax+c與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1，0），O是坐標原點，且|OC|=3|OA|
（1）求拋物線的函數(shù)表達式和直線BC的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF，將正方形ODEF一每秒1個單位的速度沿x軸的正方形移動，在運動過程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）．在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，求出這個最大值；如果不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點P在直線BC下方的拋物線上，若∠PBC=∠ACO，求P點坐標．

Answer 1

分析 （1）首先由OC、OA的數(shù)量關(guān)系確定點C的坐標，即可利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，拋物線解析式可得點B的坐標，而點C的坐標已經(jīng)求得，由待定系數(shù)法求解即可．
（2）①首先要明確正方形ODEF和△OBC重合部分的形狀：當點D在△OBC內(nèi)部時，兩者的重合部分是矩形；當點D在△OBC外部時，兩者的重合部分是五邊形，其面積可由正方形的面積減去△DGH的面積（G、H分別為ED、OD和線段BC的交點）．在判斷t的取值范圍時，要注意一個“關(guān)鍵點”：點D位于線段BC上時．
②根據(jù)①的函數(shù)性質(zhì)即可得到答案，要注意未知數(shù)的取值范圍；
（3）作OM平分∠BOC交BP于M，作MH⊥x軸于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BC}{OB}=\frac{AB}{OM}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4}{OM}$，求得OM=2$\sqrt{2}$，得到OH=MH=2，求得M（2，-2），得到直線BM的解析式為y=2x-6，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（-1，0），|OC|=3|OA|
∴C（0，-3）
∵拋物線經(jīng)過A（-1，0），
C（0，-3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{（-1）^{2}•a-2a•（-1）+c=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴y=x²-2x-3．
∴點B（3，0）；
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx-3，代入B點坐標，得：
3k-3=0，解得 k=1
∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3；

（2）當正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設(shè)D點的坐標為（m，-2），
根據(jù)題意得：-2=m-3，
∴m=1．
①當0＜t≤1時，正方形和△OBC的重合部分是矩形；
∵OO₁=t，OD=2
∴S₁=2t；
當1＜t≤2時，正方形和△OBC的重合部分是五邊形，如右圖；
∵OB=OC=3，
∴△OBC、△D₁GH都是等腰直角三角形，
∴D₁G=D₁H=t-1；
S₂=S_矩形DD1O1O-S_△D1HG=2t-$\frac{1}{2}$×（t-1）²=-$\frac{1}{2}$t²+3t-$\frac{1}{2}$．
②由①知：
當0＜t≤1時，S=2t的最大值為2；
當1＜t≤2時，S=-$\frac{1}{2}$t²+3t-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+4，
由于未知數(shù)的取值范圍在對稱軸左側(cè)，且拋物線的開口向下；
∴當t=2時，函數(shù)有最大值，且值為 S=-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{7}{2}$＞2．
綜上，當t=2秒時，S有最大值，最大值為 $\frac{7}{2}$．

（3）如圖2，作OM平分∠BOC交BP于M，作MH⊥x軸于H，
∵OB=OC=3，∠OCB=∠OBC=45°=∠BOM，
∵∠PBC=∠ACO，
∴∠ACB=∠MBO，
∴△BCA∽△OBM，
∴$\frac{BC}{OB}=\frac{AB}{OM}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4}{OM}$，
∴OM=2$\sqrt{2}$，
∴OH=MH=2，
∴M（2，-2），
∴直線BM的解析式為y=2x-6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（與B重合舍去），
∴P（1，4）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)的最值及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，在解答此題時要注意分類討論思想的應(yīng)用．