Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過點A（1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的面積；
（3）將直線BC向下平移n個單位后與拋物線交于點M、N，且線段MN=2CB，求直線MN的解析式及平移的距離n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B兩點坐標待定系數(shù)法求解可得；
（2）作AD⊥BC，證△ABD∽△CBO得$\frac{AD}{CO}$=$\frac{AB}{BC}$，求出圓的半徑AD的長即可得圓的面積；
（3）待定系數(shù)法求得直線BC解析式為y═$\frac{1}{2}$x-2，設平移后的直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，與拋物線的交點M（x₁、$\frac{1}{2}$x₁+m）、N（x₂，$\frac{1}{2}$x₂+m），由直線與拋物線相交得到關于x的方程及x₁+x₂=4，x₁x₂=2m+4，利用兩點間的距離公式列出關于m的方程，解之可得答案．

解答 解：（1）將點A（1，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）當x=0時，y=-2，
∴點C（0，-2），即OC=2，
由A（1，0）、B（4，0）知OA=1、OB=4，
∴AB=3，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
如圖，過點A作AD⊥BC于點D，

∴∠ADB=∠COB=90°，
∵∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴$\frac{AD}{CO}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AD}{2}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴以點A為圓心、AD長為半徑作⊙A，此時⊙A與BC相切，
∴⊙A的面積為π•（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$π；

（3）設BC的解析式為y=kx+b，
將B（4，0）、C（0，-2）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
設平移后的直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，與拋物線的交點M（x₁、$\frac{1}{2}$x₁+m）、N（x₂，$\frac{1}{2}$x₂+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+m，整理得x²-4x+2m+4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=2m+4，
則MN=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-\frac{1}{2}{x}_{2}-m）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+\frac{1}{4}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-\frac{5}{2}{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵MN=2BC=4$\sqrt{5}$，
∴MN²=80，即$\frac{5}{4}$（x₁+x₂）²-$\frac{5}{2}$x₁x₂=80，
∴$\frac{5}{4}$×16-$\frac{5}{2}$×（2m+4）=80，
解得m=-14，
∴平移后直線MN的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-14，
則平移的距離n=12．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質、兩點間的距離公式等知識點是解題的關鍵．