Question

18．如圖，二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，己知點A（-1，0），點C（0，2）
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點D是拋物線在第一象限的部分上的一動點，當四邊形OCDB的面積最大時，求點D的坐標；
（3）若點E為拋物線上任意一點，點F為x軸上任意一點，當以B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形時，寫出滿足條件的所有點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）只需把點A、C的坐標代入拋物線的解析式，就可解決問題；
（2）連接BC，過點D作DH⊥x軸于點H，交BC于G，如圖所示，△BOC的面積確定，要使四邊形OCDB的面積最大，只需△CDB的面積最大，設(shè)點D的橫坐標為p，運用割補法即可得到△CDB的面積與p的函數(shù)關(guān)系，然后只需運用配方法就可解決問題；
（3）由于BC確定，可分BC是平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論，得到點E與點C的縱坐標之間的關(guān)系，然后代入拋物線的解析式，就可解決問題．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（0，2）在二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{3}{2}+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）連接BC，過點D作DH⊥x軸于點H，交BC于G，如圖所示，

令y=0，得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），OB=4，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×4×2=4．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
設(shè)點D的橫坐標為p，
則y_D=-$\frac{1}{2}$p²+$\frac{3}{2}$p+2，y_G=-$\frac{1}{2}$p+2，
∴DG=（-$\frac{1}{2}$p²+$\frac{3}{2}$p+2）-（-$\frac{1}{2}$p+2）=-$\frac{1}{2}$p²+2p=-$\frac{1}{2}$（p-2）²+2，
∴S_△CDB=S_△CDG+S_△BDG
=$\frac{1}{2}$DG•OH+$\frac{1}{2}$DG•BH=$\frac{1}{2}$DG•OB=$\frac{1}{2}$×4DG=2DG
=-（p-2）²+4．
∴S_{四邊形OCDB}=S_△BOC+S_△CDB=-（p-2）²+8
∵-1＜0，
∴當p=2時，S_{四邊形OCDB}取最大值，
此時y_D=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴點D的坐標為（2，3）；

（3）①若BC為平行四邊形的一邊，
則C、E到BF的距離相等，
∴|y_E|=|y_C|=2，
∴y_E=±2．
當y_E=2時，解方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2得，
x₁=0，x₂=3，
∴點E的坐標為（3，2）；
當y_E=-2時，解方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2得，
x₁=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，
∴點E的坐標為（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）；
②若BC為平行四邊形的一條對角線，
則CE∥BF，
∴y_E=y_C=2，
∴點E的坐標為（3，2）．
綜上所述：滿足條件的點E的坐標為（3，2）、（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）、（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求出直線及拋物線的解析式、拋物線上點的坐標特征、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)等知識，運用割補法及配方法是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．