Question

18．如圖，△ABC向外側(cè)作等腰Rt△ABD與Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，F(xiàn)為BC的中點，連接F、A并延長交DE于G點，請問：AF與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

Answer 1

分析 延長AF到H，使AF=FH，連結(jié)BH．首先依據(jù)SS證明△AFC≌△HFB，接下來證明∠ABH=∠DAE，然后依據(jù)SAS證明△ABH≌△DAE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到AF與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

解答 解：DE=2AF且DE⊥AF．
理由：延長AF到H，使AF=FH，連結(jié)BH．

在△AFC和△HFB中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FH}\\{∠AFC=∠HFB}\\{BF=FC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△HFB．
∴AC=BH，∠ACF=∠FBH．
∴∠ABH=180°-∠BAC．
∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠EAC=90°．
∴AE=BH，∠DAE=180°-∠BC．
∴∠ABH=∠DAE．
在△ABH和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABH=∠DAE}\\{BH=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DAE．
∴AH=ED，∠BAH=∠ADE．
∵AH=2AF，∠BAH+∠DAG=90°，
∴DE=2AF，∠GAD+∠GDA=90°，
∴AF⊥DE．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的做法是解題的關(guān)鍵．