Question

13．如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AE．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）過點(diǎn)C作CM⊥AF于M點(diǎn)，若CM=4，BE=6，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，然后由等角的余角相等，證得∠1=∠2，繼而證得結(jié)論；
（2）由圓周角定理，易證得∠2=∠4，又由AB為直徑，CM⊥AF，可求得CE=CM=4，繼而求得AB的長(zhǎng)，則可求得答案．

解答 （1）證明：連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AF是⊙O的切線，
∴∠BAF=90°．
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°．
∴∠1=∠2．
∵AB=BC，
∴∠ABC=2∠1=2∠2；

（2）解：∵∠1=∠2=∠3，∠3=∠4，
∴∠2=∠4．
∵AB是直徑，
∴CE⊥AE，
∵CM⊥AF，CM=4，
∴CE=CM=4，
∵BE=6，
∴AB=BC=BE+EC=10．
在Rt△ABE中，$AE=\sqrt{A{B^2}-B{E^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}=8$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．