Question

16．進位數(shù)是一種記數(shù)方式，可以用有限的數(shù)字符號代表所有的數(shù)值，使用數(shù)字符號的數(shù)目稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進制，現(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0～9進行記數(shù)，特點是逢十進一，對于任意一個用n（n≤10）進制表示的數(shù)，通常使用n個阿拉伯?dāng)?shù)字0～（n-1）進行記數(shù)，特點是逢n進一，我們可以通過以下方式把它轉(zhuǎn)化為十進制：
例如：五進制數(shù)（234）₅=2×5²+3×5+4=69，記作（234）₅=69，
七進制數(shù)（136）₇=1×7²+3×7+6=76，記作（136）₇=76．
（1）請將以下兩個數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制：（331）₅=91，（46）₇=34
（2）若一個正數(shù)可以用七進制表示為（$\overline{abc}$）₇，也可以用五進制表示為（$\overline{cba}$）₅，請求出這個數(shù)并用十進制表示．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)進制的計算規(guī)則列式計算即可得；
（2）由題意得出7²a+7b+c=5²c+5b+a，即24a+b=12c，結(jié)合1≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9，且a、b、c均為整數(shù)得出a、b、c的值，表示成十進制即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，（331）₅=3×5²+3×5+1=91，（46）₇=4×7+6=34，
故答案為：91，34；

（2）根據(jù)題意得：7²a+7b+c=5²c+5b+a，
整理得24a+b=12c，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9，且a、b、c均為整數(shù)，
∴a=1、b=0、c=2，此數(shù)用十進制表示為102；
a=2、b=0、c=4，此數(shù)用十進制表示為204；
a=3、b=0、c=6時，此數(shù)用十進制表示為306；
a=4、b=0、c=8時，此數(shù)用十進制表示為408．

點評 本題主要考查有理數(shù)的混合運算和進制計算規(guī)則，根據(jù)題意弄清進制的計算規(guī)則是解題的根本，由題意列出a、b、c的等式結(jié)合其范圍得出具體數(shù)值是解題的關(guān)鍵．