Question

11．如圖，AB是⊙O的一條弦，C，D是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在AB弦的異側(cè)，連接CD．
（1）已知AC=BC，AB平分∠CBD，求證：AB=CD；
（2）已知∠ADB=45°，⊙O的半徑為1，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）證$\widehat{AC}=\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，即可得$\widehat{DAC}=\widehat{ACB}$，從而得證；
（2）由S_{四邊形ABCD}=S_△ADB+S_△ACB，設(shè)△ADB和△ACB的公共邊AB上的高為h₁、h₂，則h₁+h₂的最大值為⊙O的直徑，即當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB的中點(diǎn)、點(diǎn)D在優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，根據(jù)∠ADB=45°知∠AOB=90°，根據(jù)AO=BO=1得AB=$\sqrt{2}$，由S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AB（h₁+h₂）可得答案．

解答 解：（1）∵AC=BC，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∵AB平分∠CBD，
∴∠CBA=∠DBA，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴$\widehat{DAC}=\widehat{ACB}$，
∴AB=CD；

（2）∵S_{四邊形ABCD}=S_△ADB+S_△ACB，
設(shè)△ADB和△ACB的公共邊AB上的高為h₁、h₂，則h₁+h₂的最大值為⊙O的直徑，
即當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB的中點(diǎn)、點(diǎn)D在優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，
如圖，連接OA、OB，

∵∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AO=BO=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AB（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，由△ADB和△ACB的公共邊AB上的高為h₁、h₂，則h₁+h₂的最大值為⊙O的直徑時(shí)，四邊形ABCD的面積最大是解題的關(guān)鍵．