Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，點C是⊙O上的一點，連結(jié)EC、BC、AC，且∠BCE=∠BAC．
（1）求證：EC是⊙O的切線．
（2）過點A作AD垂直于直線EC于D，若AD=3，DE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到EC是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，在Rt△ADE中利用勾股定理計算出AE=5，則OE=5-r，OC=r，咋證明△EOC∽△EAD，利用相似比得到

OC

AD

=

EO

EA

，即

r

3

=

5-r

5

，然后解方程即可得到圓的半徑．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°，
∵OC=OA，
∴∠1=∠A，
又∵∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠1，
∴∠BCE+∠2=90°，
∴OC⊥EC，
∴EC是⊙O的切線；
（2）解：設⊙O的半徑為r，
在Rt△ADE中，AD=3，ED=4，AE=

AD2+DE2

=5，
∴OE=5-r，OC=r
∵OC⊥EC，
而AD⊥EC，
∴OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴

OC

AD

=

EO

EA

，即

r

3

=

5-r

5

，
∴r=

15

8

，
即⊙O的半徑為

15

8

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．