Question

15．已知A（1，4）、點(diǎn)B（-2，n）都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上，請?jiān)谶@個(gè)反比例函數(shù)圖象上找點(diǎn)C，使∠ABC=45°，直接寫出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)（-5+$\sqrt{29}$，5+$\sqrt{29}$）或（-5-$\sqrt{29}$，5-$\sqrt{29}$）．

Answer 1

分析 先確定出直線AB解析式，從而確定出垂直于直線AB的直線DF解析式，利用∠ABC=45°，構(gòu)造等腰直角三角形，即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而卻出直線BE解析式，和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可．

解答 解：如圖，

∵A（1，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∵點(diǎn)B（-2，n）都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴-2n=4，
∴n=-2，
∴B（-2，-2），
∴直線AB解析式為y=2x+2，
∴直線AB與y軸相交于點(diǎn)D（0，2），
∴BD=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$
過點(diǎn)D作直線DF⊥AB，
∴直線DF解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
在直線DF上取一點(diǎn)E使DE=BD=2$\sqrt{5}$，
設(shè)點(diǎn)E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∵D（0，2），
∴DE=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{2}m+2-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴m=±4，
∴E（4，0），或（-4，4），
①當(dāng)點(diǎn)E（4，0）時(shí)，
∵B（-2．-2），
∴直線BE解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
∵反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
聯(lián)立這兩個(gè)方程化簡得，x²-4x+6=0，
此方程無解；
②當(dāng)點(diǎn)E（-4，4）時(shí)，
∵B（-2．-2），
∴直線BE解析式為y=x+10，
∵反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
聯(lián)立這兩個(gè)方程化簡得，x²+10x-4=0，
∴x=-5±$\sqrt{29}$，
∴y=5±$\sqrt{29}$，
∴C（-5+$\sqrt{29}$，5+$\sqrt{29}$）或（-5-$\sqrt{29}$，5-$\sqrt{29}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，主要考查了待定系數(shù)法求直線解析式，平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造等腰直角三角形，也是解本題的難點(diǎn)．