Question

5．已知，四邊形ABCD中，AD=CD．
（1）如圖1，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，求∠BAD+∠BCD的度數(shù)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，M、N分別為AB、BC上的點，若∠B=50°，∠MDN=65°，求證：MM=AM+CN．
（3）如圖3，若將（2）中∠MDN旋轉(zhuǎn)至如圖3位置所示，判斷MN、AM、CN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先用角平分線的性質(zhì)定理得出DF=DE，再用HL判斷出Rt△ADF≌Rt△CDE，進而得出∠DAF=∠BCD，即可得出結(jié)論；
（2）在NC上取一點H使CH=AM，借助（1）的結(jié)論判斷出△ADM≌△CDH，進而判斷出△MDN≌△HDN，即可得出結(jié)論；
（3）同（2）的方法的判斷出△MDN≌△HDN，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，

過點F作DF⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，
∴DF=DE，
在Rt△ADF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE，
∴∠DAF=∠BCD，
∵∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
（2）如圖2，

延長NC使CH=AM，連接DH，
由（1）知，∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCM=180°，
∴∠BAD=∠HCD，
在△ADM和△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠MAD=∠HCD}\\{AM=CH}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDH，
∴DM=DH，∠ADM=∠CDH，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=50°，∠MDN=65°，
∴∠NDH=∠NDC+∠CDH=∠NDC+∠ADM=65°=∠MDN，
在△MDN和△HDN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DH}\\{∠MDN=∠HDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△HDN，
∴MN=HN=CN+CH=CN+AM；
（3）如圖3，

在CN上截取CH=AM，
同（2）的方法得出，△MDN≌△HDN，
∴MN=HN=CN-CH=CN-AM．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，解本題的關(guān)鍵是得出∠MDN=∠HDN，還用到類比的思想．