Question

4．如圖，Rt△ABC在直角坐標(biāo)系中，∠ABC=90°，AB：BC：AC=3：4：5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒6個(gè)單位長度的速度，沿著△OBC的三邊B-O-C-B，回到B處停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PBD的面積為S，用含t的代數(shù)式表示S；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BO邊上移動(dòng)時(shí)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AO以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)以每秒a個(gè)單位長度沿y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)，問：當(dāng)t為何值時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形全等，并求出相應(yīng)的a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、C的坐標(biāo)求得OA=4，OC=6，根據(jù)射影定理即可求得OB，即可求得B的坐標(biāo)；
（2）分三種情況討論；根據(jù)三角形的中位線，可得DE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），
∴OA=4，OC=6，
∴AC=10，
∵∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴OB²=OA•OC=4×6=24，
∴OB=2$\sqrt{6}$，
∴B（0，2$\sqrt{6}$）；
（2）∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴OD=1，
如圖1：作DE⊥BC于E，則DE∥AB．，
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=10，AB：BC：AC=3：4：5，
∴AB=6，BC=8，
∴DE=3，
①當(dāng)P點(diǎn)在OB上時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×6t×1=3t；
②當(dāng)P點(diǎn)在OC上，且在D的左邊時(shí)，S=S_△BOD-S_△BOP=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{6}$-$\frac{1}{2}$（6t-2$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{6}$=-6$\sqrt{6}$t+$\sqrt{6}$+12；
③當(dāng)P點(diǎn)在OC上，且在D的右邊時(shí)，S=S_△BOP-S_△BOD=$\frac{1}{2}$（6t-2$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{6}$-$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{6}$=6$\sqrt{6}$t-12-$\sqrt{6}$；
④當(dāng)P點(diǎn)在BC上時(shí)，S=$\frac{1}{2}$BP•DE=$\frac{1}{2}$（8+6+2$\sqrt{6}$-6t）×3=21+3$\sqrt{6}$-9t；
（3）如圖2：，
由△POC≌△MON，得
OM=OP，ON=OC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4t-4=6t-2\sqrt{6}}\\{at=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{t=\sqrt{6}-2}\\{a=3\sqrt{6}+6}\end{array}\right.$，
當(dāng)t=$\sqrt{6}$-2時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形全等，相應(yīng)的a=3$\sqrt{6}$+6；
如圖3：，
由△POC≌△NOM，得
$\left\{\begin{array}{l}{PO=NO}\\{CO=MO}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{6t-2\sqrt{6}=at}\\{4t-4=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{5}{2}}\\{a=\frac{30-4\sqrt{6}}{5}}\end{array}\right.$，
當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形全等，相應(yīng)的a=$\frac{30-4\sqrt{6}}{5}$
綜上所述：當(dāng)t=$\sqrt{6}$-2時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形全等，相應(yīng)的a=3$\sqrt{6}$+6；
當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形全等，相應(yīng)的a=$\frac{30-4\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了射影定理，三角形的面積公式，全等三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．