Question

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；
（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據(jù)菱形的判定可以得到四邊形是菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是菱形，理由如下：
解：由（1）可得BE=DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF∥AE，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四邊形BFDE是平行四邊形，
∴四邊形BFDE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．