Question

5．如圖，以扇形AOB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），∠AOB=45°．現(xiàn)從$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a，則a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點(diǎn)，又使得關(guān)于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數(shù)的概率是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由關(guān)于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數(shù)可以求得a的取值范圍，拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點(diǎn)，可以求得相應(yīng)的a的取值范圍，從而可以得到滿足a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點(diǎn)，又使得關(guān)于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數(shù)的a的取值范圍，從而可以得到符合要求的a的值，進(jìn)而求得概率是多少．

解答 解：由已知可得，OB=2，OA=2，∠AOB=45°，
則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為：OA•cos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，縱坐標(biāo)為：OA•sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
∵$\frac{ax+1}{x-2}=-1$，
解得x=$\frac{1}{a+1}$，
∴方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數(shù)時(shí)，$\frac{1}{a+1}＞0$且$\frac{1}{a+1}≠2$，得a＞-1且a$≠-\frac{1}{2}$，
又∵拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{×（\sqrt{2}）}^{2}+a≤\sqrt{2}}\\{\frac{1}{2}×{2}^{2}+a≥0}\end{array}\right.$
解得$-2≤a≤\sqrt{2}-1$，
∴a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點(diǎn)，又使得關(guān)于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數(shù)時(shí)滿足的條件是：-1＜a＜$\sqrt{2}-1$且a$≠-\frac{1}{2}$，
∴從$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a，符合要求的只有0，
∴從$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a，則a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點(diǎn)，又使得關(guān)于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數(shù)的概率是：$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、解不等式組和解方程、概率，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以求出符合要求的a的取值范圍，會(huì)計(jì)算概率．