Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點，與y軸交于點C，過點B作BM⊥x軸，垂足為M，BM=OM，OB=2$\sqrt{2}$，點A的縱坐標(biāo)為4．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）連接MC，求四邊形MBOC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以求得點B的坐標(biāo)，從而可以求得反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得點A的坐標(biāo)，從而可以求得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以求得點C，點M、點B、點O的坐標(biāo)，從而可以求得四邊形MBOC的面積．

解答 解：（1）由題意可得，
BM=OM，OB=2$\sqrt{2}$，
∴BM=OM=2，
∴點B的坐標(biāo)為（-2，-2），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
則-2=$\frac{k}{-2}$，得k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∵點A的縱坐標(biāo)是4，
∴4=$\frac{4}{x}$，得x=1，
∴點A的坐標(biāo)為（1，4），
∵一次函數(shù)y=mx+n（m≠0）的圖象過點A（1，4）、點B（-2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{-2m+n=-2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
即一次函數(shù)的解析式為y=2x+2；

（2）∵y=2x+2與y軸交與點C，
∴點C的坐標(biāo)為（0，2），
∵點B（-2，-2），點M（-2，0），點O（0，0），
∴OM=2，OC=2，MB=2，
∴四邊形MBOC的面積是：$\frac{OM•OC}{2}+\frac{OM•MB}{2}$=$\frac{2×2}{2}+\frac{2×2}{2}$=4．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．