Question

如圖，已知A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，P是直徑CD的延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：AP與⊙O相切；
（2）如果PD=

3

，求AP的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，進而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）首先根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得半徑，從而求得OA、OP，進而利用勾股定理得出AP的長．

解答：（1）證明：連接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AP=AC，
∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠PAC=120°，
∴∠PAO=90°，
∴AP是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為R，則OA=OD=R，OP=

3

+R，
∵∠PAO=90°，∠P=30°，
∴OP=2OA，即

3

+R=2R，
解得R=

3

，
∴OA=

3

，OP=2

3

，
∴OA=

OP2-OA2

根據勾股定理得，AP=

OP2-OA2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及勾股定理定理和切線的判定、等腰三角形的性質等知識，根據已知得出圓的半徑是解題關鍵．