Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x軸于點A，交y軸于點B，且∠ABO=30°，動點P從A點開始沿AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動的速度分別為1，$\sqrt{3}$，2（長度單位/秒），直線l從與x軸重合的位置開始以$\frac{\sqrt{3}}{3}$（長度單位/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點，設動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當點P沿AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）填空：
①點A的坐標（3，0），點B的坐標（0，3$\sqrt{3}$）；
②當t=4時，點P的坐標為（0，$\sqrt{3}$）；
（2）當t為何值時，點P與點E重合？
（3）當t為何值時，△PEF是以EF為底邊的等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）①用坐標軸上點的特點求解即可；
②先判斷出t=4時，點P的位置，此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；
（2）先判斷出點P和點E重合時，點P走過的路徑長與點E走過的路徑相差OA=3，再建立方程求解即可；
（3）分三種情況進行討論計算，用平面坐標系中兩點間的距離公式和PE=PF建立方程求解即可．

解答 解：（1）①∵直線y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x軸于點A，交y軸于點B，
∴令x=0，則y=3$\sqrt{3}$，
令y=0，則x=3；
∴A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
故答案為（3，0）；（0，3$\sqrt{3}$）；
②∵點A的坐標是（3，0），
∴OA=3；
又∵點P在AO、OB、BA上運動的速度分別為1，$\sqrt{3}$，
∴當t=4時，點P在線段OB上，且OP=（4-3÷1）×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴點P的坐標是（0，$\sqrt{3}$）；
故答案為（0，$\sqrt{3}$）
（2）當點P與點E重合時，$\frac{OE}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{OE}{\sqrt{3}}+\frac{OA}{1}=\frac{OE}{\sqrt{3}}+3$，
∴OE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴t=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{9}{2}$，
（3）∵A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∴OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得，AB=6，
直線l從x軸運動到過點B時所用時間為3$\sqrt{3}$÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$=9s
∵點P在AO，OB，BA上運動的速度分別為1，$\sqrt{3}$，2，
∴點P運動一周所用時間為3÷1+3$\sqrt{3}$÷$\sqrt{3}$+6÷2=9s，
∴點P和直線l同時運動同時停止，
∵△PEF是以EF為底邊的等腰三角形，
∴PE=PF，
①當點P在線段OA上時，即0≤t≤3）
則P（3-t，0），點E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），
∵直線y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x軸于點A，交y軸于點B，
∴令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴x=3-$\frac{1}{3}$t，
∴F（3-$\frac{1}{3}$t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），
∵PE=PF，
∴PE²=PF²，
∴（3-t）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t）²=[3-$\frac{1}{3}$t-（3-t）]²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t）²，
∴t=9（舍）或t=$\frac{9}{5}$，
②當點P在線段OB上時，即3＜t≤6時，
∵∠OEF=90°，
∴此時不可能構成以EF為底的等腰三角形，
③當點P在線段AB上時，即：6＜t＜9，
設點P還有a秒到達點A，則點P運動了9-a=t，（0＜a＜3）
∴直線l運動了9-a秒，BP=6-2a
∴E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a）），
∵直線AB解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，且EF∥x軸，
∴F（$\frac{1}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a））
由運動有，BP=6-2a
∴PG=3-a，BG=$\sqrt{3}$（3-a），
∴P（3-a，$\sqrt{3}$（3-a））；
∵PE=PF，
∴PE²=PF²，
∴（3-a）²+[$\sqrt{3}$（3-a）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a）]²=（3-a-$\frac{1}{3}$a）²+[$\sqrt{3}$（3-a）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a）]²，
∴a=0（舍）或a=$\frac{18}{7}$，
∴t=9-a=9-$\frac{18}{7}$=$\frac{45}{7}$．
即：t=$\frac{9}{5}$或t=$\frac{45}{7}$秒時，△PEF是以EF為底邊的等腰三角形．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，分類思想解決問題是解本題的關鍵也是難點．