Question

12．如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下五個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），上述結(jié)論中始終正確的序號有①②③⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正確，然后利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據(jù)全等三角形的可得AE=CF，判定①正確，再根據(jù)等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正確；根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍表示出EF，可知EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，判定④錯誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半，判定⑤正確．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，故②正確；
在△APE和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠CPF}\\{AP=PC}\\{∠EAP=∠C=4{5}^{°}}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①正確；
∴△EFP是等腰直角三角形，故③正確；
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=$\sqrt{2}$PE，
所以，EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EF=$\sqrt{2}$PE=AP，在其它位置時(shí)EF≠AP，故④錯誤；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△APF+S_△APE=S_△APF+S_△CPF=${S}_{△APC}=\frac{1}{2}$=S_△ABC，故⑤正確，
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③⑤共4個(gè)．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，從而得到△APE和△CPF全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破點(diǎn)．