Question

（本題滿分12分）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，

（1）求的值為 .

（2）求證：AE=EP；

（3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）=；（2）詳見解析；（3）存在，理由詳見解析

【解析】

試題分析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC，

在Rt△ABE中，AE==，由△ABE∽△ECF 得 =，

（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，

∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°，

∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，

∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE，

即：AK=EC，

易得∠KAE=∠CEP，

∵在△AKE和△ECP中，

，

∴△AKE≌△ECP（ASA），

∴AE=EP；

（3）答：存在．

證明：作DM⊥AE于AB交于點M，

則有：DM∥EP，連接ME、DP，

∵在△ADM與△BAE中，

，

∴△ADM≌△BAE（AAS），

∴MD=AE，

∵AE=EP，

∴MD=EP，

∴MDEP，

∴四邊形DMEP為平行四邊形

考點: 正方形的綜合運用