Question

9．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)在x軸上，線段OA，OB的長(zhǎng)分別為方程x²-8x+12=0的兩個(gè)根（OB＞OA），點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，-3）．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式；
（3）D是點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，E是該拋物線的頂點(diǎn)，M，N分別是y軸、x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)△CEM是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②以D、E、M、N位頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)是否有最小值？若有，請(qǐng)求出最小值，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解方程x²-8x+12=0即可得出x的值，再根據(jù)OB＞OA即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線過x軸上的兩點(diǎn)AB，可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），再由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式；
（3）①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)拋物線的關(guān)系式即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可求出線段CE、CM、ME的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分三種情況考慮，由邊相等得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出m值，從而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②作點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)E′，作點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)D′，連接D′E′交x軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)M，此時(shí)以D、E、M、N位頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)最�。�根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)即可得出點(diǎn)D′、E′的坐標(biāo)，由此即可求出四邊形周長(zhǎng)的最小值，再根據(jù)點(diǎn)D′、E′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線D′E′的解析式，由此即可得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵x²-8x+12=0，
∴（x-2）（x-6）=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∵OB＞OA，
∴OA=2，OB=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．
（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），
將C（0，-3）代入得：-3=-12a，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式為：y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6）=$\frac{1}{4}$x²-x-3．
（3）①依據(jù)題意畫出圖形，如圖1所示．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），
∵拋物線的關(guān)系式為y=$\frac{1}{4}$x²-x-3=$\frac{1}{4}$（x-2）²-4，
∴點(diǎn)E（2，-4），
∴CE=$\sqrt{5}$，CM=|m+3|，ME=$\sqrt{4+（m+4）^{2}}$．
△CEM是等腰三角形分三種情況：
當(dāng)CE=CM時(shí)，有$\sqrt{5}$=|m+3|，
解得：m=$\sqrt{5}$-3或m=-$\sqrt{5}$-3，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{5}$-3）或（0，-$\sqrt{5}$-3）；
當(dāng)CE=ME時(shí)，有$\sqrt{5}$=$\sqrt{4+（m+4）^{2}}$，
解得：m=-3（舍去）或m=-5，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-5）；
當(dāng)CM=ME時(shí)，有|m+3|=$\sqrt{4+（m+4）^{2}}$，
解得：m=-$\frac{11}{2}$，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-$\frac{11}{2}$）．
綜上可知：當(dāng)△CEM是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{5}$-3）、（0，-$\sqrt{5}$-3）、（0，-5）或（0，-$\frac{11}{2}$）．
②四邊形DEMN有最小值．
作點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)E′，作點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)D′，連接D′E′交x軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)M，此時(shí)以D、E、M、N位頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)最小，如圖2所示．
∵點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)E（2，-4），
∴點(diǎn)D（4，-3），DE=$\sqrt{（4-2）^{2}+[-3-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵E、E′關(guān)于y軸對(duì)稱，D、D′關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴EM=E′M，DN=D′N，點(diǎn)E′（-2，-4），點(diǎn)D′（4，3），
∴EM+MN+DN=D′E′=$\sqrt{[4-（-2）]^{2}+[3-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{85}$，
∴C_{四邊形DEMN}=DE+EM+MN+DN=$\sqrt{5}$+$\sqrt{85}$．
設(shè)直線D′E′的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{-4=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{6}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線D′E′的解析式為y=$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$．
令y=$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$中x=0，則y=-$\frac{5}{3}$，
∴點(diǎn)M（0，-$\frac{5}{3}$）；
令y=$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$中y=0，則$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$=0，解得：x=$\frac{10}{7}$，
∴點(diǎn)N（$\frac{10}{7}$，0）．
故以D、E、M、N位頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)有最小值，最小值為$\sqrt{5}$+$\sqrt{85}$，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-$\frac{5}{3}$），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{10}{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次方程、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱中的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是：（1）利用分解因式法解方程；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）①分情況討論；②找出點(diǎn)M、N的位置．本題屬于難題，解題過程較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．