Question

19．如圖，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度從B向A運(yùn)動，同時點(diǎn)P以每秒2個單位的速度從B→C→A方向運(yùn)動，它們到A點(diǎn)后都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時，求點(diǎn)P到直線AB的距離d與時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在運(yùn)動過程中，求P，Q兩點(diǎn)間距的最大值；
（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在時間t，使得△PQB與△APB相似？若存在，求出此時的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P到達(dá)C時，所用時間為5s，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出d與t的關(guān)系式；
（2）分點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動兩種情況進(jìn)行討論．利用勾股定理求出PQ的表達(dá)式．
（3）分點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動兩種情況進(jìn)行討論，利用相似三角形的性質(zhì)求出t的值．

解答 解：（1）由勾股定理可知：BC=10，
當(dāng)P在BC上運(yùn)動時，0≤t≤5，
過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，
∴PD∥AC，
∴△PBD∽△CBA，
∴$\frac{PD}{AC}=\frac{PB}{BC}$，
∵PD=d，AC=6，PB=2t，BC=10，
∴$\fraciyzlzgv{6}=\frac{2t}{10}$，
∴d=$\frac{6}{5}$t（0≤t≤5）；
（2）當(dāng)0≤t≤5，如圖2，
由（1）可知：$\frac{BD}{AB}=\frac{PB}{BC}$，
∴BD=$\frac{8}{5}$t，
∵BQ=t，
∴DQ=BD-BQ=$\frac{3}{5}t$，
∴由勾股定理可知：PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，
∴當(dāng)t=5時，PQ最大值為3$\sqrt{5}$；
當(dāng)5≤t≤8時，如圖3
∴BQ=t，AQ=8-t，
AP=6+10-2t=16-2t，
∴由勾股定理可知：PQ=${\sqrt{（16-2t）^{2}+（8-t）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{5{t}^{2}-80t+320}$=$\sqrt{5（t-8）^{2}}$
當(dāng)t=5時，PQ最大值為3$\sqrt{5}$，
綜上所述，當(dāng)t=5時，此時PQ最大，最大值為3$\sqrt{5}$；
（3）當(dāng)0≤t≤5時，
若$\frac{BQ}{BP}=\frac{AB}{BP}$或$\frac{BQ}{BP}=\frac{BP}{AB}$時，
則△PQB∽△APB，
∴$\frac{t}{2t}=\frac{8}{2t}$或$\frac{t}{2t}=\frac{2t}{8}$，
∴解得t=8（舍去）或t=2；
當(dāng)5≤t≤8時，
此時△APB時直角三角形，△PQB時鈍角三角形，
此時△PQB與△APB不相似．
綜上所述，t=2；

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的綜合題，涉及勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，分類討論的思想，綜合程度較高．