Question

如圖，AB=50km，AB到滬渝高速公路直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客．小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、的距離之和S₁=PA+PB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A′，連接B′A′交直線X于點(diǎn)P），P到A、B的距離之和S₂=PA+PB．

（1）求S₁、S₂，并比較它們的大��；
（2）請(qǐng)你說明S₂=PA+PB的值為最�。�
（3）假設(shè)另外一條高速公路Y與滬渝高速公路垂直，如圖（3），B 到直線Y的距離為30km，請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小．并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理分別求得S₁、S₂的值，比較即可；
（2）在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA，∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S₂=BA'為最��；
（3）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P，交Y軸于點(diǎn)Q，求出A'B'的值即可．在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA，∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S₂=BA'為最��；

解答：解：（1）圖（1）中過B作BC⊥X于C，垂足為C；AD⊥BC于D，垂足為D，
則BC=40km，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30km．
在△ABD中，AD=

502-302

=40km，
在Rt△PBC中，
∴BP=

CP2+BC2

=40

2

km，
S₁=40

2

+10（km）．
圖（2）中，過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50km，
又∵BC=40km，
∴BA'=

402+502

=10

41

km，
由軸對(duì)稱知：PA=PA'，
∴S₂=BA'=10

41

km，
∴S₁＞S₂．

（2）如圖（2），在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA'，
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，
∴S₂=BA'為最�。�

（3）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，
連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P，交Y軸于點(diǎn)Q，則P，Q即為所求．
過A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn)G，
B′G=40+10=50km，A′G=30+30+40=100km，
A'B'=

1002+502

=50

5

km，
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50

5

km，
∴所求四邊形的周長(zhǎng)為（50+50

5

）km．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線路最短的問題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵，綜合運(yùn)用勾股定理的知識(shí)．