Question

已知x₁，x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的兩個實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）如果x₁，x₂滿足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m為整數(shù)，求m的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（-2）²-4×2×（m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=

m+1

2

，再變形已知條件得到7+4x₁x₂＞（x₁+x₂）²-2x₁x₂，于是有7+6•

m+1

2

＞1，解得m＞-3，所以m的取值范圍為-3＜m≤-

1

2

，然后找出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（-2）²-4×2×（m+1）≥0，
解得m≤-

1

2

；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=1，x₁x₂=

m+1

2

，
∵7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，
∴7+4x₁x₂＞（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
即7+6x₁x₂＞（x₁+x₂）²，
∴7+6•

m+1

2

＞1，解得m＞-3，
∴-3＜m≤-

1

2

，
∴整數(shù)m的值為-2，-1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．