Question

13．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，∠MDN=45°，點(diǎn)M，N分別在AB，BC邊上，延長(zhǎng)BC至E，使CE=AM，連接DE．
（1）求證：DM=DE；
（2）猜想MN，AM，CN之間有什么數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（3）設(shè)AM=t，若△MDN為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出DA=DC、∠A=∠DCE，再結(jié)合AM=CE即可證出△DAM≌△DCE（SAS），進(jìn)而可證出DM=DE；
（2）猜想MN=AM+CN，結(jié)合（1）中的△DAM≌△DCE即可得出∠ADM=∠CDE、DM=DE，通過角的計(jì)算即可得出∠EDN=∠MDN，由此即可證出△MDN≌△EDN（SAS），進(jìn)而可得出MN=EN，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系即可證出結(jié)論；
（3）由△MDN≌△EDN可知：若△MDN為等腰三角形，則△EDN為等腰三角形．分DN=EN、DE=NE和DE=DN三種情況考慮，分別求出三種情況下的t值，合在一起即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴DA=DC，∠A=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°=∠A．
在△DAM和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠A=∠DCE}\\{AM=CE}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DCE（SAS），
∴DM=DE．
（2）解：猜想MN=AM+CN，證明如下：
∵△DAM≌△DCE，
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE．
∵∠ADC=90°，∠MDN=45°，
∴∠ADM+∠CDN=45°，
∴∠CDE+∠CDN=45°=∠EDN=∠MDN．
在△MDN和△EDN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE}\\{∠MDN=∠EDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN．
∵EN=EC+CN，CE=AM，
∴MN=AM+CN．
（3）解：∵△MDN≌△EDN，
∴若△MDN為等腰三角形，則△EDN為等腰三角形．
①當(dāng)DN=EN時(shí)，∵∠EDN=45°，
∴∠EDN=∠DEN=45°，
∴∠DNE=90°，
此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，
∴t=AB=4；
②當(dāng)DE=NE時(shí)，∵∠EDN=45°，
∴∠EDN=∠END=45°，
∴∠E=90°，
此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，
∴t=0；
③當(dāng)DE=DN時(shí)，∵DC⊥BE，
∴CE=CN=AE=t，
∴BM=BN=AB-AM=4-t．
在Rt△MBN中，BM=BN=4-t，MN=EN=2t，
∴（2t）²=2×（4-t）²，即t²+8t-16=0，
解得：t=4$\sqrt{2}$-4或t=-4$\sqrt{2}$-4（舍去）．
綜上可知：若△MDN為等腰三角形，t的值為4，0或4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．