Question

6．已知AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CD⊥AB，垂足為點D．
（1）如圖1，求證：CA平分∠PCD；
（2）如圖2，作AE∥PC，交⊙O于點E，交CD于點F，求證：AE=2CD；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BE，若sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）利用等角的余角相等證明，即證明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解決問題．
（2）延長CD交圓O于點G，連接BC．結(jié)合欲證明AE=2CD，只需證得AM=CD，所以利用全等三角形：△ACD≌△CAM來證得結(jié)論；
（3）先證明FA=FC=5，在Rt△ADF中，根據(jù)sin∠FAD=$\frac{3}{5}$求出DF、AD，在Rt△COD中利用勾股定理求出半徑，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=$\frac{3}{5}$求出BE即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC．
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC．即CA平分∠PCD；

（2）證明：如圖2，延長CD交圓O于點G，連接BC，連接CO交AE于點M．
∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴∠PCA=∠CAF，AE⊥OC，
∴AM=EM．
∵AB⊥CG，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AG}$，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，即∠ACD=∠CAM．
∵在△ACD與△CAM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CAM}\\{AC=CA}\\{∠ADC=∠CMA=90°}\end{array}\right.$，
∴∠ACD=∠CAM（ASA），
∴CD=AM，
∴AE=2CD；

（3）解：如圖3，延長CD交圓O于點G，連接BC．
由（2）知，∠ACF=∠CAF，
∴FA=FC，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
∴FD=3，AD=4，CD=8，
在Rt△COD中，設(shè)CO=r，則有r²=（r-4）²+8²
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠EAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{20}$=$\frac{3}{5}$，
∴EB=12．

點評 本題考查圓有關(guān)知識、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，注意連接OC是圓中常用輔助線，熟練掌握垂徑定理、切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．