Question

17．閱讀與證明：
如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點，且∠EAF=45°，
求證：BF+DE=EF．
分析：證明一條線段等于另兩條線段的和，常用“截長法”或“補短法”，將線段BF、DE放在同一直線上，構造出一條與BF+DE相等的線段．如圖1延長ED至點F′，使DF′=BF，連接A F′，易證△ABF≌△ADF′，進一步證明△AEF≌△AEF′，即可得結論．
（1）請你將下面的證明過程補充完整．
證明：延長ED至F′，使DF′=BF．
應用與拓展：
建立如圖平面直角坐標系，使頂點A與坐標原點O重合，邊OB、OD分別在x軸、y軸正半軸上．
（2）設正方形邊長OB為30，當E為CD中點時，試問F為BC的幾等分點？并求此時F點的坐標；
（3）設正方形邊長OB為30，當EF最短時，求直線EF的解析式．

Answer 1

分析 （1）延長EDF′，使DF′=BF，由ABCD為正方形，根據(jù)正方形的四條邊相等得到AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，利用SAS可得出三角形ABF與三角形ADF′全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AF′，∠BAF=∠DAF′，由∠EAF為45°，得到∠DAE+∠FAB=45°，等量代換可得出∠EAF′=45°，然后利用SAS得到三角形AEF與三角形AEF′，利用全等三角形的對應邊相等得到EF=EF′，而EF′=ED+DF′，再將DF′換為BF即可得證；
（2）設BF=a，由CB-FB表示出CF，由EF=ED+FB表示出EF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值為10，可得出F為BC的三等分點；
（3）當CE=CF時，EF最短，此時△CEF為等腰直角三角形，由題意設出F（30，b），即FB=b，由CB-FB表示出CF，即為CE，由EF=BF+DE=2BF=2b，在直角三角形CEF中，由表示出的CF與CE利用勾股定理表示出EF，可列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出E與F的坐標，設直線EF的解析式為y=kx+b，將E和F的坐標代入得到關于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，進而確定出直線EF的解析式．

解答 解：（1）如圖1：延長ED至F′，使DF′=BF．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS），
∴AF=AF′，∠BAF=∠DAF′，
∵∠F′AE=∠F′AD+∠DAE=∠BAF+∠DAE=∠DAB-∠EAF=45°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠F′AE=∠EAF．
∵在△AEF和△AEF′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF′}\\{∠EAF=∠EAF′}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEF′（SAS）．
∴EF=EF′=ED+DF′=ED+BF；
（2）設BF=a，則CF=30-a，EF=ED+FB=15+a．
∵在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：EC²+CF²=EF²，
∴15²+（30-a）²=（15+a）²，
∴a=10，
∴F為BC的三等分點，
∴F（30，10）；
（3）當CE=CF時，EF最短，此時△CEF為等腰直角三角形．
設F坐標為（30，b），可得FB=b，則CF=CE=BC-FB=30-b，
∴EF=$\sqrt{2}$（30-b）．
又∵EF=FB+DE，
∴$\sqrt{2}$（30-b）=2b，解得：b=$\frac{30\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=30$\sqrt{2}$-30．
∴FB=DE=30$\sqrt{2}$-30．
∴E（30$\sqrt{2}$-30，30），F(xiàn)（30，30$\sqrt{2}$-30）．
設直線EF的解析式為y=kx+b．
∵將E和F的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{（30\sqrt{2}-30）k+b=30}\\{30k+b=30\sqrt{2}-30}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=30\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為y=-x+30$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，其中根據(jù)題意得到當CE=CF時，EF最短是解第三問的關鍵．