Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（4，4），O（0，0），B（6，0），點(diǎn)M是射線OB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AB，MN與射線OA交于點(diǎn)N，P是AB邊上的任意點(diǎn)，連接AM，PM，PN，BN，設(shè)△PMN的面積為S．
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)M在邊OB上時(shí)，S有最大值嗎？若有，求出S的最大值；若沒有，請說明理由．
（3）是否存在點(diǎn)M，使△PMN和△ANB中，其中一個(gè)面積是另一個(gè)2倍？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由相似三角形的性質(zhì)即可，
（2）由兩直線平行，得到三角形相似，再由相似得到比例式，表示出NH，從而求出S的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用同高的兩個(gè)三角形的面積比是底的比，得出MN=2AB，求出OM，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖，

過點(diǎn)N作NH⊥OB，AG⊥OB，
∵M(jìn)N∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴$\frac{NH}{AG}=\frac{OM}{OB}$，
∴NH=$\frac{4}{3}$，
∵點(diǎn)N在直線OA上，直線OA的解析式為y=x，
∴N（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（2）設(shè)OM=x，∵M(jìn)N∥AB，
∴S_△MNB=S_△PMN=S，
∵△OMN∽△OBA，
∴$\frac{MN}{AB}=\frac{OM}{OB}$，NH=$\frac{2}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$MB×NH=$\frac{1}{2}$（6-x）×$\frac{2}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+3，
∴x=3時(shí)，S有最大值為3．
（3）假設(shè)存在，
設(shè)MN與AB之間的距離為h，
若S_△PMN=2S_△ANB，
∴$\frac{1}{2}$MN×h=2×$\frac{1}{2}$AB×h，
∴MN=2AB，
∵△OMN∽△OBA，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$=2，
∴OM=12，
∴M（12，0），
若S_△ANB=2S_△PMN，同理可得M（3，0），
∴M（12，0）或M（3，0）．

點(diǎn)評 本題是相似三角形的綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是由相似得出比例式$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$．