Question

7．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求sin∠ABC的值；
（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)線段EF最長(zhǎng)？求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)勾股定理，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），C（0，2），
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$　　　　　
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．          
∴解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，

（2）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0解得x=-1（舍），x=4，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），C（0，2），
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．   
∴sin∠ABC=sin∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）存在．
∵對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
PD=CD=$\frac{5}{2}$，得P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
PC=CD=$\frac{5}{2}$，即P點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于底邊的高對(duì)稱(chēng)，得
D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，即P（$\frac{3}{2}$，4），
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），（$\frac{3}{2}$，4）；

（4）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n
∵B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，2），
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x+2），則F點(diǎn)坐標(biāo)為（x，--$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
EF=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）
=-$\frac{1}{2}$x²+2x
=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
當(dāng)x=2時(shí)，EF最長(zhǎng)，
∴當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是正弦函數(shù)的定義；解（3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義，要分類(lèi)討論，以防遺漏；解（3）的關(guān)鍵是利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)．