Question

19．如圖，△ABC中，∠B=30°，∠BAC=105°，AB=24，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 過A作AD⊥BC于D，則∠ADC=∠ADB=90°，求出AD=$\frac{1}{2}$AB=12，BD=AB×cos30°=12$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，求出∠CAD=45°，求出CD=AD=12，求出BC，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答 解：
過A作AD⊥BC于D，則∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=30°，AB=24，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=12，BD=AB×cos30°=12$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠CAD=45°，
∴∠C=45°=∠CAD，
∴CD=AD=12，
∴BC=BD+CD=12$\sqrt{3}$+12），
∴△ABC的面積是$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×（12$\sqrt{3}$+12）×12=72$\sqrt{3}$+72，
即△ABC的面積是72$\sqrt{3}$+72．

點(diǎn)評 本題考查了解再見三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能構(gòu)造直角三角形，并進(jìn)一步求出BC和高AD的長．