Question

4．已知拋物線l₁經(jīng)過點(diǎn)E（1，0）和F（5，0），并交y軸于D（0，-5）；拋物線l₂：y=ax²-（2a+2）x+3（a≠0），
（1）試求拋物線l₁的函數(shù)解析式；
（2）求證：拋物線 l₂與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（3）若a=1
①拋物線l₁、l₂頂點(diǎn)分別為（3，4）、（2，-1）；當(dāng)x的取值范圍是2≤x≤3時(shí)，拋物線l₁、l₂ 上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)同時(shí)隨橫坐標(biāo)增大而增大；
②已知直線MN分別與x軸、l₁、l₂分別交于點(diǎn)P（m，0）、M、N，且MN∥y軸，當(dāng)1≤m≤5時(shí)，求線段MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）由E、F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線l₁的函數(shù)解析式；
（2）在y=ax²-（2a+2）x+3中，令y=0得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用判別式進(jìn)行求證即可；
（3）①把拋物線解析式都化為頂點(diǎn)式，可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的開口方向及對(duì)稱軸可求得答案；②可先求得兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可用m表示出MN的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得MN的最大值．

解答 解：
（1）∵拋物線l₁過E、F，
∴可設(shè)l₁的解析式為y=a′（x-1）（x-5），
∵當(dāng)x=0，y=-5，
∴-5=a′（-1）×（-5），
∴a′=-1，
∴y=-（x-1）（x-5）=-x²+6x-5；

（2）在y=ax²-（2a+2）x+3中，令y=0可得ax²-（2a+2）x+3=0，
∵△=（2a+2）²-4a×3=4（a-$\frac{1}{2}$）²+3＞0，
∴拋物線l₂與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（3）當(dāng)a=1時(shí)，
①∵拋物線l₁的解析式為y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，拋物線l₂的解析式為y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴l(xiāng)₁、l₂的頂點(diǎn)分別為（3，4）、（2，-1），
∵-1＜0，1＞0，
∴拋物線l₁開口向下，當(dāng)x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，拋物線l₂開口向上，當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)2≤x≤3時(shí)，拋物線l₁、l₂上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)同時(shí)隨橫坐標(biāo)增大而增大；
故答案為：（3，4）；（2，-1）；2≤x≤3；
②聯(lián)立兩拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+6x-5}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)₁、l₂的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（4，3），且拋物線l₁與x軸交于點(diǎn)（1，0）和（5，0），
∵直線MN分別與x軸、l₁、l₂分別交于點(diǎn)P（m，0）、M、N，且MN∥y軸，
∴M（m，-m²+6m-5），N（m，m²-4m+3），
當(dāng)1≤m≤4時(shí)，如圖1，

則MN=-m²+6m-5-（m²-4m+3）=-2m²+10m-8=-2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-2＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時(shí)，MN有最大值$\frac{9}{4}$；
當(dāng)4＜m≤5時(shí)，如圖2，

則MN=m²-4m+3-（-m²+6m-5）=2m²-10m+8，
∵M(jìn)N=2m²-10m+8有最小值，但在對(duì)稱軸右邊MN隨x增大而增大，
∴當(dāng)m=5時(shí)，MN_最大=2×25-50+8=8，
綜合可知當(dāng)1≤m≤5時(shí)，MN最大值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一元二次方程根的判別式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中注意一元二次方程根的判別式與拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，在（3）中用m表示出MN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．