Question

1．△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α（0°＜α≤90°），點(diǎn)F，G，P分別是DE，BC，CD的中點(diǎn)，連接PF，PG．
（1）如圖①，α=90°，點(diǎn)D在AB上，則∠FPG=90°；
（2）如圖②，α=60°，點(diǎn)D不在AB上，判斷∠FPG的度數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（3）連接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PF的長最大時(shí)，F(xiàn)G的長為7sin（90°-$\frac{α}{2}$）（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根據(jù)G、P、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn)，可得出PG∥BD，PF∥CE．則∠GPF=180°-∠α=90°；
（2）連接BD，連接CE，由已知可證明△ABD≌△ACE，則∠ABD=∠ACE．因?yàn)镚、P、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn)，則PG∥BD，PF∥CE．進(jìn)而得出∠GPF=180°-∠α=120°；
（3）當(dāng)D在BA的延長線上時(shí)，CE=BD最長，此時(shí)BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位線定理即可算出PG=3.5，在Rt△GPH中，由三角函數(shù)的定義即可求出GH，進(jìn)一步求出FG．

解答 解：（1）∵AB=AC、AD=AE，
∴BD=CE，
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn)，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α=90°，
即∠GPF=90°；
（2）∠FPG=120°；理由如下：
連接BD，連接CE．如圖②
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn)，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α=120°，
即∠GPF=120°；
（3）連結(jié)BD，CE，過P作PH⊥FG于H，如圖③，
由（2）可知，△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，且PG=PF=$\frac{1}{2}$BD，當(dāng)D在BA的延長線上時(shí)，CE最長，即BD最長，此時(shí)BD=AB+AD=5+2=7，
∴PG=3.5，
∵PF=PG，PH⊥FG，
∴∠GPH=$\frac{1}{2}$∠FPG=$\frac{1}{2}$（180°-∠α）=90°-$\frac{1}{2}$α，F(xiàn)G=2HG，
∴FG=2HG=2PG•sin∠GPH=2×3.5×sin（90°-$\frac{α}{2}$）=7sin（90°-$\frac{α}{2}$），
故答案為7sin（90°-$\frac{α}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形的輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)解決問題．