Question

已知⊙O的直徑為15，弦AB∥CD，AB=9，CD=12，那么兩弦的距離是

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：計算題,分類討論

分析：分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心O一側時，如圖1所示，過O作OE⊥AB于點E，交CD于點F，連接OA，OC，交AB于點F，連接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂徑定理得到E與F分別為CD與AB的中點，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的長，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的長，由OE-OF即可求出EF的長；當兩條弦位于圓心O兩側時，如圖2所示，同理由OE+OF求出EF的長即可．

解答：解：分兩種情況考慮：
當兩條弦位于圓心O一側時，如圖1所示，
過O作OE⊥AB，交CD于點F，交AB于點E，連接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點，
∴CF=DF=

1

2

CD=6cm，AE=BE=

1

2

AB=4.5cm，
在Rt△AOE中，OA=7.5cm，AE=4.5cm，
根據勾股定理得：OE=

7.52-4.52

=6cm，
在Rt△COF中，OC=7.5cm，CF=6cm，
根據勾股定理得：OF=

7.52-62

=

9

2

cm，
則EF=OE-OF=6-

9

2

=

3

2

cm；
當兩條弦位于圓心O兩側時，如圖2所示，同理可得EF=6+

9

2

=

21

2

cm，
綜上，弦AB與CD的距離為

3

2

cm或

21

2

cm．
故答案為：

3

2

cm或

21

2

cm．

點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理及三角形中位線定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．