Question

2．（1）如圖1，直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)C，分別過點(diǎn)D、B作l的垂線段DE、BF．求證：△DCE≌△CBF
（2）將上述的圖形作為一個(gè)“基本圖形”，你能否在下列的問題中構(gòu)建這樣的“基本圖形”解決問題：
如圖2，正方形ABCD與正方形AEFG有共同的頂點(diǎn)A，連接DE、BG，過點(diǎn)A作直線AH⊥DE，交BG于點(diǎn)I，求證：I是BG的中點(diǎn)．
（3）通過（2）的證明：我們可以發(fā)現(xiàn)上圖中S_△ADE=S_△ABG（填“＞”、“＜”、或“=”）．并利用你的發(fā)現(xiàn)解決下列問題：如圖3，以△ABC的各邊為一邊向外作正方形，各正方形的面積如圖中所示，分別為9、16、25，請(qǐng)直接寫出六邊形DEFGHI的面積：74．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定證明即可；
（2）由（1）可知：△DAH≌△ABM，△EAH≌△AGN，從而可知：BM=AH=GN，然后再證明△BIM≌△GIN，從而可得到BI=BI；
（3）由全等三角形的性質(zhì)可知S_△ADE=S_△ABG，然后用上述結(jié)論可知△BEF、△GCH，△ADI的面積都等于△ACB的面積，從而可求得答案．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCB=90°，
∴∠DCE+∠BCF=90°，
∵DE⊥CE，BF⊥CF，
∴∠DCE+∠EDC=90°，
∴∠BCF=∠EDC，
同理∠DCE=∠CBF，
在△DCE與△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠CBF}\\{∠BCF=∠EDC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△CBF（AAS）；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥AI于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥AI交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

由（1）可知：△DAH≌△ABM、△AHE≌△GNA，
∴BM=AH，GN=AH．
∴BM=GN．
在△BMI和△GNI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMA=∠GNA}\\{∠BMI=∠GNI}\\{BM=NG}\end{array}\right.$，
∴△BMI≌△GNI．
∴BI=GI．
（3）∵△DAH≌△ABM、△AHE≌△GNA，
∴S_△ADE=S_△ABM+S_△ANG．
∵△BMI≌△GNI，
∴S_△BMI=S_△GNI．
∴S_△ADE=S_△ABG．
∴${S}_{△BEF}={S}_{△CGH}={S}_{△ADI}={S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$．
∴六邊形的面積=25+16+9+4×6=74．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，并利用問題的結(jié)論進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．