Question

6．如圖，四邊形ABCD為一個矩形紙片，AB=3，BC=2，動點P自D點出發(fā)沿DC方向運動至C點后停止，△ADP以直線AP為軸翻折，點D落在點D₁的位置．設DP=x，△AD₁P與原紙片重疊部分的面積為y．
（1）當x為何值時，直線AD₁過點C？
（2）當x為何值時，直線AD₁過BC的中點E？
（3）求出y與x的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊得出AD=AD₁=2，PD=PD₁=x，∠D=∠AD₁P=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC，在Rt△PCD₁中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；
（2）連接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE，求出AD₁=AD=2，PD=PD₁=x，D₁E=$\sqrt{10}$-2，PC=3-x，在Rt△PD₁E和Rt△PCE中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分為兩種情況：當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，點D₁在矩形ABCD的外部，PD₁交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，設PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x-a）²+2²=a²，求出a即可．

解答 解：（1）

如圖1，∵由題意得：△ADP≌△AD₁P，
∴AD=AD₁=2，PD=PD₁=x，∠D=∠AD₁P=90°，
∵直線AD₁過C，
∴PD₁⊥AC，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，CD₁=$\sqrt{13}$-2，
在Rt△PCD₁中，PC²=PD₁²+CD₁²，
即（3-x）²=x²+（$\sqrt{13}$-2）²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{13}-4}{3}$，
∴當x=$\frac{2\sqrt{13}-4}{3}$時，直線AD₁過點C；

（2）如圖2，

連接PE，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AD₁=AD=2，PD=PD₁=x，
∴D₁E=$\sqrt{10}$-2，PC=3-x，
在Rt△PD₁E和Rt△PCE中，
x²+（$\sqrt{10}$-2）²=（3-x）²+1²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$，
∴當x=$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$時，直線AD₁過BC的中點E；


（3）如圖3，

當0＜x≤2時，y=x，
如圖4，

當2＜x≤3時，點D₁在矩形ABCD的外部，PD₁交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3（根據(jù)折疊），
∴∠2=∠3，
∴AF=PF，
作PG⊥AB于G，
設PF=AF=a，
由題意得：AG=DP=x，F(xiàn)G=x-a，
在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x-a）²+2²=a²，
解得：a=$\frac{4+{x}^{2}}{2x}$，
所以y=$\frac{1}{2}×2×\frac{4+{x}^{2}}{2x}$=$\frac{{x}^{2}+4}{2x}$，
綜合上述，當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，y=$\frac{{x}^{2}+4}{2x}$．

點評 本題考查了勾股定理，折疊的性質，矩形的性質等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵，用了分類推理思想．