Question

如圖，已知∠AOB=60°，半徑為2

3

的⊙M與邊OA、OB相切，若將⊙M水平向左平移，當⊙M與邊OA相交時，設交點為E和F，且EF=6，則平移的距離為（　�。�

• A、2
• B、2或6
• C、4或6
• D、1或5

Answer 1

考點：切線的性質

專題：計算題,壓軸題

分析：討論：當將⊙M水平向左平移，當點M運動到M′位置時，作MC⊥OA于C點，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，連結M′E，根據(jù)切線的性質得MM′∥OB，MC=2

3

，再根據(jù)垂徑定理得EH=

1

2

EF=3，在Rt△EHM′中利用勾股定理計算出HM′=

3

，則CQ=M′H=

3

，所以MQ=2

3

-

3

=

3

，然后利用含30°的直角三角形三邊的關系可得到MM′；
當將⊙M水平向左平移，當點M運動到M″位置時，作MC⊥OA于C點，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D點，同理得到MC=2

3

，M′H=

3

，利用平行線的性質得∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°，則∠HM″D=30°，∠CMD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關系可得到M″D和MD，則可得到MM″=6．

解答：解：當將⊙M水平向左平移，當點M運動到M′位置時，如圖
作MC⊥OA于C點，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，連結M′E，
∵⊙M與邊OB、OA相切，
∴MM′∥OB，MC=2

3

，
∵M′H⊥OA，
∴EH=CH=

1

2

EF=

1

2

×6=3，
在Rt△EHM′中，EM′=2

3

，
∴HM′=

EM′2-EH2

=

3

，
∵M′Q⊥MC，
∴四邊形M′QCH為矩形，
∴CQ=M′H=

3

，
∴MQ=2

3

-

3

=

3

，
∵∠QM′M=∠AOB=60°，
∴∠QM′M=30°，
∴M′Q=

MQ

3

=1，
∴MM′=2；
當將⊙M水平向左平移，當點M運動到M″位置時，如圖2，
作MC⊥OA于C點，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D點，
易得MC=2

3

，M′H=

3

，
∵∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°，
∴∠HM″D=30°，∠CMD=30°，
在Rt△HM″D中，M″D=

3

，則DH=

M″D

3

=1，
∴M″D=2DH=2，
在Rt△CDM中，CM=2

3

，則DC=

MC

3

=2，
∴DM=2DC=4，
∴MM″=2+4=6，
綜上所述，當⊙M平移的距離為2或6．

故選B．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了垂徑定理以及含30°的直角三角形三邊的關系．