Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且EG、FH均過(guò)正方形的中心O．
（1）填空：OH=OF （“＞”、“＜”、“=”）；
（2）當(dāng)四邊形EFGH為矩形時(shí)，請(qǐng)問(wèn)線段AE與AH應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，AO與EH交于點(diǎn)P，求OP²+PH•PE的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出AE=AH，或AE+AH=1；
（3）根據(jù)△OPH∽△EPA，即可得到PH×PE=OP×AP，據(jù)此可得OP²+PH×PE=OP²+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，再根據(jù)△OPE∽△OEA，即可得到OP×OA=OE²，據(jù)此可得OP²+PH×PE=OE²，最后根據(jù)OE的最小值求得OP²+PH•PE的最小值．

解答 解：（1）如圖所示，∵正方形ABCD，
∴AO=CO，∠OAH=∠OCF=45°，
又∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH≌△COF，
∴OH=OF；
故答案為：=；

（2）當(dāng)四邊形EFGH為矩形時(shí)，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
在正方形ABCD中，∠HAE=∠EBF=90°，
∴∠AEH+∠AHF=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
∴△AEH∽△BFE，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AH}{BE}$，
令A(yù)E=x，AH=y，則BF=1-y，BE=1-x，
∴$\frac{x}{1-y}$=$\frac{y}{1-x}$，
即x-y=x²-y²=（x+y）（x-y），
∴x=y或x+y=1，
∴AE=AH，或AE+AH=1；

（3）如圖所示，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，∠HOE=90°，OH=OE，
∴∠OEH=∠OHE=45°，
∴∠OHP=∠PAE=45°，
∵∠HPO=∠APE，
∴△OPH∽△EPA，
∴$\frac{PH}{AP}$=$\frac{OP}{PE}$，即PH×PE=OP×AP，
∴OP²+PH×PE=OP²+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，
∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA，
∴△OPE∽△OEA，
∴$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OE}{OA}$，即OP×OA=OE²，
∴OP²+PH×PE=OE²，
∵當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE最小，此時(shí)OE=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)OE=$\frac{1}{2}$時(shí)，OP²+PH×PE最小，且等于$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列式計(jì)算即可得出結(jié)論．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．